斐波那契數列與黃金分割的關系

　　斐波那契數列與黃金分割的關系

　　斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。

　　與黃金分割關系

　　有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說后一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618）。

　　1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666.。。，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…。

　　越到后面，這些比值越接近黃金比。

　　證明

　　a［n+2］=a［n+1］+a［n］。兩邊同時除以a［n+1］得到：a［n+2］/a［n+1］=1+a［n］/a［n+1］。若a［n+1］/a［n］的極限存在，設其極限為x，則lim［n-》；；∞］（a［n+2］/a［n+1］）=lim［n-》；；∞］（a［n+1］/a［n］）=x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以極限是黃金分割比。